Многие выдающиеся отечественные и зарубежные лингвисты прошлого (А. В. де Гроот, Э. Бенвенист, Л. Ельмслев, Р. Якобсон, К. С. Аксаков, А. М. Пешковский и др.) настаивали на том, что падежи имеют свой самостоятельный смысл. С нашей точки зрения, к устройству категории падежа в человеческом языке вплотную подошел только Л. Ельмслев. К сожалению, до сих пор его работы о падежах не переведены с французского на русский язык и, кроме того, датский лингвист не успел применить свою теорию к европейским языкам. Однако до сих пор, несмотря на интересные и глубокие исследования А. Вежбицкой, Л. Янды, Ю. Н. Караулова, Е. В. Рахилиной и др., ученым так и не удалось преодолеть  влияния антиграмматического гипноза, который исходит от вещественных частей слов и от которого прозорливо предостерегал А. М. Пешковский (подробнее см. в [Ильченко 2018]). Указанное влияние, действительно,  является труднопреодолимым препятствием на пути решения проблемы отделения грамматического от лексического в значении падежа.
Методологически важно при установлении инварианта падежного значения различать понятие «падеж» на уровне абстрактной языковой структуры (глубинная семантика) и на уровне манифестации абстрактной структуры (поверхностный уровень речевых реализаций). Понятно, что инвариант может существовать только на уровне абстрактных структур. Мы полагаем, что падежная форма (на каком бы уровне синтаксиса — центральном или периферийном — она ни работала) способна однозначно участвовать в порождении нашим сознанием определенного смысла потому, что за ней стоит интуитивно улавливаемое носителями языка пространственное представление [Ильченко 2017: 135-136]. С нашей точки зрения, грамматическая абстракция является результатом метафорического переосмысления конкретных пространственных отношений на уровне структуры предложения (локалисты говорят о вторичных функциях пространственных моделей).
Сирконстантные функции Тв. п. часто рассматриваются как выражающие отношения между двумя объектами, в отличие от актантных функций, выражающих отношение между предикатом и объектом. Так считает, например, Л. Янда,  называя Тв. п. с пространственными предлогами «над», «под», «перед», «за», «между» Instrumental: a landmark [Junda, Clansy 2002]. Однако такие определения значения творительного местонахождения, как, например, «предмет, выше (ниже) которого расположен или направлен другой предмет» и под., отсылают только к экстралингвистической ситуации и не имеют отношения к грамматическому значению. Нас же интересует устройство самого языка, языковая структура и внутриязыковые отношения (о семантических признаках в падежной структуре см. [Ilchenko 2015]). Внешний (периферический) синтаксис как «надстройка», в отличие от внутреннего (центрального), включает экзоцентрические падежи и наречия как внешние пространственно-временные локусы (сирконстанты), в которые помещается вся ситуация в целом, т.е. локалистические метафоры внешнего (поверхностного) представления действия со стороны говорящего. История русского языка свидетельствует о постепенном вытеснении на периферию древних (первоначально беспредложных) локальных падежей, получивших в современном русском языке предлоги (для уточнения направления). Мы полагаем, что современный внешний синтаксис концептуализирует ДВИЖЕНИЕ в широком смысле слова (пространственное, темпоральное, перцептивное (описывает процесс чувственного — чаще зрительного и слухового — восприятия), мысленное). Еще А.А.Потебня отмечал, что пребывание в пространстве, простирающемся до известного предела, не отличается от движения, направляющегося до чего, потому что если не движется пространство, то движется по нем глаз и мысль. С этой, когнитивной, точки зрения, Тв. п. с пространственным предлогом обозначает объект, ЧЕРЕЗ который проходит движение глаз при определении местонахождения предмета: картина висит над столом; повесить картину над столом; мяч лежит под столом; не стой под балконом; встань передо мною; за облаками — небо; увидел дорожку между домами и под. В данных контекстах определение местонахождения идет «ЧЕРЕЗ  что-то другое», находящееся как бы на одной линии с лоцируемым предметом, а точнее  — на ПУТИ, траектории движения глаз.
Таким образом, в современном русском языке периферийные инструментальные конструкции с пространственными предлогами являются воплощениями (как и центральные: творительный орудия, средства и т.д.) семантической (глубинной) структуры инструменталиса […→●→…], в основе которой лежит элементарное пространственное представление – первосмысл ЧЕРЕЗ, воспринимаемый русским сознанием абстрактно, безотносительно к характеру пересекаемого объекта (в отличие, например, от английского языка), и идея (концепт) ПУТИ.  
Литература:
Ильченко О. С. Пространственные представления как основа категории падежа: датив в русском языке. // Вопросы когнитивной лингвистики. 2017. №3. С.135—141.
Ильченко О. С. Категория падежа в трудах Ф. Ф. Фортунатова и его учеников (А. М. Пешковского, А. А. Шахматова и др.). // Фортунатовские чтения в Карелии: Сб. докладов международной научной конференции (Петрозаводск, 10—12 сентября 2018 г.). В 2-х частях. Под научной редакцией Н. В. Патроевой. Предисловие Н. В. Патроевой, О. В. Никитина. — Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2018. Ч.1. С.49—52.
Ilchenko O. S. Semantic features in case theory: objections and corrections. // Russian linguistic bulletin. 2015. № 1 (1). P.18—20.
Janda L. A., Clancy S. J. The Case Book for Russian. Bloomington: Slavica, 2002.